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Ejemplo: Modelación Posición de un Motor de CC
Physical Setup
Ecuaciones del Sistema
Diseño Requirements
Representación en Matlab y Respuesta a Lazo Abierto

Physical Setup

El motor de CC es un actuador común en control sistemas. Provee movimiento rotatorio directamente y, acoplado con ruedas dentadas o poleas y cables, puede proveer movimiento transicional. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la siguiente figura:

Para este ejemplo, asumimos los valores siguientes para los parámetros físicos. Estos valores se derivaron experimentalmente de un motor real del laboratorio de control para alumnos de grado del Carnegie Mellon.

Ecuaciones del Sistema

El torque del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por un factor constante Kt. La fuerza contraelectromotriz (emf), e, se relaciona con la velocidad de rotación mediante las siguientes ecuaciones

En unidades del sistema internacional SI (las que usaremos), Kt (constante de armadura) es igual a Ke (constante del motor).

De la figura de arriba podemos escribir las siguientes ecuaciones basadas en la ley de Newton combinado con la ley de Kirchhoff:

1. Función de Transferencia

Usando Transformadas de Laplace las ecuaciones del modelo de arriba pueden expresarse en términos de s.

Eliminando I(s) podemos obtener la siguiente función de transferencia, donde la velocidad de rotación es la salida y la tensión es una entrada.

Sin embargo como durante este ejemplo estamos mirando a la posición, como que es la salida. Podemos obtener la posición integrando Theta Punto, por lo tanto solo necesitamos dividir la función de transferencia por s.

2. Espacio de Estado

Estas ecuaciones pueden también representarse en la forma espacio de estado. Si elegimos posición del motor, velocidad del motor, y corriente de armadura como las variables de estado, podemos escribir las ecuaciones como sigue:

Requerimientos de diseño

Quisiéramos poder posicionar muy precisamente al motor, entonces el error de estado estacionario de la posición del motor debería ser cero. Además quisiéramos que el error de estado estacionario debido a una perturbación también sea nulo. El otro requerimiento a la performance es que el motor alcance muy rápidamente su posición final. En este caso, queremos tener un tiempo de establecimiento de 40ms. y un sobrepico menor que 16%.

Si simulamos la entrada de referencia (R) por una entrada escalón unitario, entonces la salida velocidad del motor debería tener:

Representación en Matlab y respuesta a lazo abierto

1. Función de Transferencia

Podemos poner la función de transferencia en Matlab definiendo el numerador y el denominador como vectores:

Cree un nuevo archivo-m e ingrese los siguientes comandos:

Ahora veamos qué hace el sistema original a lazo abierto. Copie el siguiente comando al final del archivo-m y ejecútelo en la ventana de comandos del Matlab: Debería obtenerse la figura siguiente:

De la figura vemos que cuando se aplica 1 volt al sistema, la posición del motor cambia en 6 radianes, seis veces mayor que la posición deseada. Para una entrada escalón de 1 volt, el motor debe girar alrededor de 1 radian. Además, el motor alcanza un estado estacionario que no satisface los criterios de diseño

2. Espacio de Estado

Podemos poner las ecuaciones de espacio de estado en el Matlab definiendo las matrices del sistema como sigue:

La respuesta al escalón se obtiene mediante el comando

Desgraciadamente, Matlab responde con

Con esta representación de las ecuaciones dinámicas están habiendo problemas numéricos de escalamiento . Para solucionar el problema, escalamos el tiempo mediante tscale = 1000. Ahora la salida tiempo estará en milisegundos en lugar de en segundos. Las ecuaciones están dadas por

La salida parece la misma que cuando se obtuvo através de la función de transferencia, pero el vector tiempo debe ser dividido por tscale.


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Ejemplos de Modelación
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Modelación | PID | Lugar de Raíces | Respuesta en Frecuencia | Espacio de Estado | Control Digital:RL

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