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Diseño de Compensadores en Adelanto y Atraso

Compensador por Adelanto mediante Lugar de Raíces
Compensador por Adelanto mediante Respuesta en Frecuencia
Compensador en Atraso mediante Lugar de Raíces
Compensador en Atraso mediante Respuesta en Frecuencia
Compensadores en Atraso/Adelanto

Los compensadores en Adelanto y Atraso se usan extensivamente en control. Un compensador en adelanto puede incrementar la estabilidad o velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero no eliminar) el error de estado estacionario. Dependiendo del efecto deseado, uno o más compensadores en adelanto y en atraso puede usarse en varias combinaciones.

Los compensadores en atraso, adelanto y adelanto/atraso se diseñan normalmente para un sistema representado en la forma función de transferencia. La página de conversiones explica cómo convertir un modelo en espacio de estado a la forma función de transferencia.

Compensador por adelanto o atraso mediante Lugar de Raíces

Un compensador de primer orden en adelanto puede diseñarse usando el lugar de raíces. Un compensador en adelanto en la forma de mapa polo-cero está dado por

Donde la magnitud de zo es menor que la magnitud de po. Un compensador por adelanto tiende a desplazar el lugar de raíces hacia el semiplano izquierdo. Esto resulta en una mejora en la estabilidad del sistema y un incremento en la velocidad de respuesta.

Cómo se logra esto? Recuerde como se hallaban las asíntotas del lugar de raíces que se dirigen a los ceros en el infinito, la ecuación para determinar la intersección del asíntotas en el eje real es:

Cuando un compensador en adelanto se adiciona a un sistema, el valor de esta intersección será un número negativo más grande que lo que había sido anteriormente. El número neto de polos y ceros será el mismo (se agregaron un cero y un polo), pero el polo agregado es un número negativo más grande que el cero agregado. Por lo que, el efecto de un compensador en adelanto es que la intersección de las asíntotas se muevan más hacia el semiplano izquierdo, y todo el root locus será desplazado a la izquierda. Esto puede incrementar la región de estabilidad así como la velocidad de respuesta.

En Matlab se implementa un compensador con fase en adelanto en la forma de mapa polo-cero usando la función de transferencia en la forma

     numlead=kc*[1 z];
     denlead=[1 p];
y use la función conv() para implementarlo con el numerador y denominador de la planta
     newnum=conv(num,numlead);
     newden=conv(den,denlead);

Compensador por adelanto o atraso mediante respuesta en frecuencia

Un compensador de primer orden por adelanto puede diseñarse usando la respuesta en frecuencia. Un compensador en adelanto en la forma respuesta en frecuencia está dada por

Note que esto es equivalente a la forma lugar de raíces (mapa polo-cero)

con p = 1/T, z = 1/aT, y Kc = a. En diseño por respuesta en frecuencia, el compensador por adelanto agrega fase positiva al sistema en el rango de frecuencias de 1/aT a 1/T. El diagrama de Bode de un compensador por adelanto se ve como el siguiente

Las dos frecuencias de corte están en 1/aT y 1/T; note que la fase positiva que se adiciona al sistema entre esas dos frecuencias. Dependiendo del valor de a, la máxima fase adicionada puede ser hasta 90 grados; si necesita más que 90 grados de fase, puede usarse dos compensadores en adelanto . La cantidad máxima de fase se adiciona en la frecuencia central, la cual se ubica en

La ecuación que determina la máxima fase es

Una fase positiva adicional incrementa el margen de fase y por lo tanto incrementa la estabilidad del sistema. Este tipo de compensador se diseña determinando a de la cantidad de fase necesaria para satisfacer el requerimiento del margen de fase, y determinando T donde ubicar la fase adicionada a la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Otro efecto del compensador en adelanto puede verse en el gráfico de magnitud. El compensador en adelanto incrementa la ganancia del sistema a altas frecuencias (esta ganancia es igual a). Esto puede incrementar la frecuencia de corte, lo cual ayudará a bajar el tiempo de elevación y tiempo de asentamiento del sistema.

En Matlab, un compensador con fase en adelanto en la forma respuesta en frecuencia se implementa usando la función de transferencia en la forma

     numlead=[aT 1];
     denlead=[T 1];
y mediante la función conv() multiplicarla por el numerador y el denominador de la planta
     newnum=conv(num,numlead);
     newden=conv(den,denlead);

Compensador en Atraso de fase usando Lugar de Raíces

Un compensador de primer orden en atraso puede diseñarse usando el lugar de raíces. Un compensador en atraso en la forma de mapa polo-cero está dado por

Donde la magnitud de zo es mayor que la magnitud de po. Un compensador en atraso de fase tiende a desplazar el lugar de raíces a la derecha, lo cual es indeseable. Por esta razón, el polo y cero de un compensador en atraso deben ser ubicados muy juntos (normalmente cerca del origen) de modo que no cambie apreciablemente las características de respuesta transitoria o estabilidad del sistema.

Cómo desplaza el controlador en atraso al lugar de raíces a la derecha? Si recuerda, la ecuación que determina la intersección de las asíntotas en el eje real es:

Cuando un compensador en atraso se adiciona a un sistema, el valor de esta intersección será un número negativo más chico de lo que fue anteriormente. El número neto de polos y ceros será el mismo (se agregaron un cero y un polo), pero el polo agregado es un número negativo más chico que el cero agregado. Por lo que, el resultado de un compensador en atraso es que la intersección de las asíntotas se mueva más cerca del semiplano derecho, y todo el root locus será desplazado a la derecha.

Se estableció previamente que el controlador en atraso solo debe cambiar mínimamente la respuesta transitoria a causa de su efecto negativo. Si el compensador en atraso de fase no se supone que cambiará la respuesta transitoria notoriamente, para qué es bueno? La respuesta es que un compensador en atraso de fase puede mejorar la respuesta en estado estacionario del sistema. Funciona de la siguiente manera. A altas frecuencias, el controlador en atraso tendrá ganancia unitaria. A bajas frecuencias, la ganancia será z0/p0 lo cual es mayor que 1. Este factor z0/p0 multiplicará la posición, velocidad, o constante de aceleración (Kp, Kv, o Ka), y el error de estado estacionario decrecerá entonces en el factor z0/p0.

En Matlab, se implementa un compensador con fase en adelanto en la forma de mapa polo-cero usando la función de transferencia en la forma

     numlag=[1 z];
     denlag=[1 p];
y mediante la función conv() para implementarlo con el numerador y el denominador de la planta
     newnum=conv(num,numlag);
     newden=conv(den,denlag);

Compensador en Atraso de fase usando Respuesta en Frecuencia

Un compensador de primer orden en atraso de fase puede diseñarse usando la respuesta en frecuencia. Un compensador en atraso en la forma respuesta en frecuencia se da por

El compensador en atraso de fase se ve similar a un compensador por adelanto, excepto que a ahora es menor que 1. La diferencia principal es que el compensador en atraso agrega fase negativa al sistema en el rango de frecuencias especificado, mientras que un compensador en adelanto agrega fase positiva en el rango de frecuencias especificado. El diagrama de Bode de un compensador en atraso de fase se ve abajo

Las dos frecuencias de corte están en 1/T y 1/aT. El efecto principal del compensador en atraso se muestra en el gráfico de magnitud. El compensador en atraso agrega ganancia a bajas frecuencias; la magnitud de esta ganancia es igual a a. El efecto de esta ganancia es hacer que el error de estado estacionario del sistema a lazo cerrado decrezca en un factor de a. A consecuencia que la ganancia del compensador en atraso es unitaria a medias y altas frecuencias, la respuesta transitoria y estabilidad no se modificarán apreciablemente.

El efecto secundario del compensador en atraso es la fase negativa que se adiciona al sistema entre las dos frecuencias de corte. Dependiendo del valor a, puede ser adicionado hasta -90 grados de fase. Debe tenerse cuidado para que el margen de fase del sistema con compensación en atraso sea aún satisfactorio.

En Matlab, un compensador en atraso de fase en la forma respuesta en frecuencia se implementa usando la función de transferencia en la forma

     numlead=[a*T 1];
     denlead=a*[T 1];
y mediante la función conv() para implementarlo con el numerador y el denominador de la planta
     newnum=conv(num,numlead);
     newden=conv(den,denlead);
Compensador en Adelanto/Atraso mediante ya sea Lugar de Raíces o Respuesta en Frecuencia

Un compensador en Adelanto/Atraso combina los efectos de un compensador en adelanto con los de un compensador en atraso. El resultado es un sistema con una mejora en la respuesta transitoria, estabilidad y error de estado estacionario. Para implementar un compensador en adelanto/atraso, primero se diseña el compensador en adelanto para lograr la respuesta transitoria y estabilidad deseadas, y entonces agregue un compensador en atraso para mejorar la respuesta de estado estacionario.


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