Aplicaciones de la Ecuación de Bernoulli

  1. Considerar el flujo incompresible, bidimensional, estacionario y sin fricción cerca de la garganta del pasaje de un Venturi. El flujo es irrotacional y los efectos gravitacionales son despreciables. La constante de Bernoulli del flujo es $p_0$ (medida como una presión). Cerca de la garganta el contorno de la pared es un arco circular de radio $a$. Como una aproximación, se acuerda en suponer que en el plano de la garganta 1-3 la curvatura de las líneas de corriente varía linealmente desde $\frac{1}{a}$ en el punto 1 hasta 0 en el punto 2 (y $-\frac{1}{a}$ en el punto 3). Se desea analizar la distribución de velocidades en los alrededores de la garganta.

    1. ¿Es la velocidad del fluido mayor en el punto 1 o en el punto 2?
    2. ¿Es la velocidad del fluido mayor en el punto 2 o en el punto 4?
    3. Hacer un esquema cualitativo de la distribución de presiones (líneas de presión constante).
    4. Calcular la distribución de presiones en el plano de la garganta. Verifique que $\frac{p_0-p_2}{p_0-p_1}=e^{-\frac{b}{a}}$, donde $p_1$ y $p_2$ son las presiones estáticas en los puntos 1 y 2, respectivamente.
    5. ¿Cómo calcularía el perfil de velocidades?
    \includegraphics{Gargventuri}

    Respuesta:

    1. Dadas las aproximaciones del enunciado (flujo incompresible, estacionario, irrotacional y sin fricción, con efectos gravitacionales despreciables), se puede aplicar la ecuación de Bernoulli en todo punto del flujo, y por eso tiene sentido hablar de la constante de Bernoulli ``del flujo''. Entre el punto 1 y el 2 podemos utilizar las ecuaciones en ``coordenadas naturales'', en particular en la dirección transversal al flujo:

      \begin{displaymath}
\frac{\partial p}{\partial n} = \rho \frac{v^2}{R}
\end{displaymath}

      Esta ecuación, según la convención utilizada para definir el versor $n$, nos indica que la presión debe aumentar alejándose del centro de curvatura de la línea. En particular la presión en el punto 2 será mayor que en el punto 1. Como se cumple Bernoulli en todo el espacio ( $p+\frac 12 \rho v^2 =$ cte), la velocidad en 2 será menor que en 1.
    2. Por conservación de la masa, dado que la densidad es constante, se conserva el caudal volumétrico. Puesto que el área de paso es mínima en la garganta, allí la velocidad será máxima, entonces $v_2 > v_4$.
    3. Por el resultado del item $a$, la presión sobre corte vertical en la garganta debería mostrar un máximo de la presión en el punto medio, y mínimos en los puntos 1 y 3. Por el resultado de $b$, un corte horizontal por el centro de la garganta debería mostrar un mínimo de presiones en el punto central (considerando que la velocidad es máxima, y aplicando Bernoulli). Por lo tanto, el punto central es un punto de ensilladura de la función presión.

      En la figura se muestran las líneas de nivel del módulo de velocidad, obtenidas mediante la resolución numérica del flujo en la geometría dada. Estas líneas de módulo de velocidad constante se corresponden (aplicando la ecuación de Bernoulli) con líneas de presión constante. Nótese sin embargo que el espaciamiento de las líneas se corresponde con diferencias del módulo de la velocidad y no diferencias de presión.
      \includegraphics[width=4.2cm]{Gventvmod}

    4. Para calcular la distribución de presiones en la línea central se puede integrar la ecuación de arriba, teniendo en cuenta la variación del radio de curvatura de las líneas de corriente. Tomando el origen de coordenadas en el punto central, y llamando $x$ a la coordenada vertical, la curvatura puede expresarse como: $\frac 1R = -\frac{x}{ab}$, y utilizando la ecuación de Bernoulli: $p_0 = p + \frac 12 \rho v^2$, la ecuación en la dirección transversal al flujo queda:

      \begin{displaymath}
\frac{\partial p}{\partial n} = \frac{\partial p}{\partial x...
...o \frac{-x}{ab} v^2 = -\rho \frac{x}{ab} \frac{2(p_0-p)}{\rho}
\end{displaymath}


      \begin{displaymath}
-\frac{\partial (p_0-p)}{\partial x} = -\frac{2(p_0-p)}{ab} x
\end{displaymath}


      \begin{displaymath}
\int_{p_1}^{p} \frac{d (p_0-p)}{p_0-p} = \frac{2}{ab}\int_{-b}^x\,x\,dx
\end{displaymath}


      \begin{displaymath}
\left. \ln (p_0-p) \right\vert _{p_1}^p = \frac 1{ab} \left(x^2-b^2\right),\quad
\frac{p_0-p}{p_0-p_1}=e^{\frac{x^2-b^2}{ab}}
\end{displaymath}

      Evaluando en $x=0$: $\frac{p_0-p_2}{p_0-p_1}=e^{-\frac ba}$
    5. Una vez calculada la presión, la velocidad se deduce de la ecuación de Bernoulli: $ v = \sqrt{\frac{2}{\rho}(p_0-p)} $.

Enzo Alberto Dari 2007-09-21