Lugar geométrico de las raíces

 

Conceptos

Supongamos tener el sistema de la siguiente figura, donde KA es la ganancia de nuestro controlador, el cual puede ser elegido por el diseñador.

 

Figura 1. Esquema de un sistema controlado con retroalimentación.

 

La función de transferencia de este sistema es:

 

                   Ec. [1]

 

Los polos de esta función de transferencia estarán dados por las raíces de la ecuación característica: .

Dependiendo de la ganancia KA que elija el diseñador, será la respuesta dinámica que tendrá el sistema retroalimentado (la ubicación de los polos depende de esta ganancia).

Evans propuso que el diseñador del sistema de control construya el lugar geométrico de todas las raíces posibles de la ecuación  a medida que KA varía desde 0 a infinito. De esta manera podemos elegir adecuadamente la ganancia KA y ver los efectos de polos y ceros adicionales.

Tenemos que la función de transferencia de la planta es:

 

            Ec. [2]

 

donde a(s) y b(s) son polinomios de grado n y m respectivamente, y n ³ m.

Estos polinomios los podemos escribir de las siguientes maneras:

 

                               Ec. [3]

                             Ec. [4]

 

Llamemos K a: K = KA . Kp.

Entonces la ecuación característica la podemos escribir de las siguientes maneras:

 

                                   Ec. [5]

 

                                   Ec. [6]

 

                               Ec. [7]

 

                                         Ec. [8]

 

Consideraremos primeramente el caso en que K es positivo.

El grado de la ecuación característica es el grado mayor de los dos polinomios a(s) y b(s) (observando la ecuación 7), y por lo tanto es de grado n. Esto significa que el número de ramas del lugar geométrico de las raíces estará dado por n el grado del polinomio denominador de la función de transferencia a lazo abierto.

De la ecuación 7 también podemos decir que para K = 0, las raíces de la ecuación característica estará dada por los polos de la función de transferencia a lazo abierto (las raíces de a(s)); y que para K infinito, las raíces de la ecuación característica estará dada por los ceros de la función de transferencia a lazo abierto (las raíces de b(s)).

Conclusión: existirán n ramas en el lugar geométrico de las raíces que partirán de los polos a lazo abierto y terminarán en los ceros a lazo abierto.

 

Pautas para el trazado de un lugar geométrico de las raíces:

Definición I:

El lugar geométrico de las raíces, es el lugar geométrico de valores de s para el cual 1 + K.G(s) = 0 se cumple, ya que el parámetro K (real) varía desde cero a infinito. Por lo general, 1 + K.G(s) es el denominador de una función de transferencia de interés, de modo que las raíces en el lugar geométrico son polos en lazo cerrado del sistema.

 

Partiendo de la ecuación 8, y teniendo en cuanta que la función compleja la podemos discriminar en su magnitud y fase, y para K positivos, podemos arribar a la siguiente definición:

 

Definición II:

El lugar geométrico de las raíces de G(s) es el lugar geométrico de puntos en el plano s donde la fase de G(s) es 180°.

 

Esto se lo conoce como la condición de fase, que significa matemáticamente:

             , con l entero.   Ec. [9]

 

Ejemplo:

Tenemos la siguiente función de transferencia G(s) a lazo abierto:

 

 

En la figura 2 mostramos con cruces la ubicación de los polos de esta función de transferencia, y con círculos los ceros. Suponemos un punto de prueba ubicado en so = -1 + 2.j, y realizamos la suma de las contribuciones de las fases para determinar si es o no punto del lugar de raíces:

 

= 90o - 116o.6 - 0o -76o -33o.7 = -136o.3

 

Figura 2. Punto de prueba y los ángulos formados con los polos y ceros.

 

La fase de G para este punto de prueba vale -136o.3, y no 180o (ó -180o) por lo tanto este punto de prueba no pertenece al lugar geométrico de las raíces.

 

Pasos para trazar el lugar geométrico de las raíces

PASO 1: Dibujamos los polos y ceros de la función de transferencia a lazo abierto (con x y o).

 

PASO 2: Encontramos la parte del eje real de los lugares geométricos de las raíces.

Si tomamos un punto de prueba sobre el eje real, la contribución en ángulo de los ceros o polos complejos conjugados se anularán, puesto que uno de los ángulos se cancela con el de su conjugado.

Entonces debemos considerar solo los polos y ceros que se encuentran sobre el eje real. Los mismos aportarán 0° si el punto de prueba está a la derecha del polo o cero, y aportará con -180° o +180° si el punto de prueba está a la izquierda del polo o cero, respectivamente.

Conclusión: Es lugar geométrico de las raíces, aquel lugar del eje real que está a la izquierda de un número impar de polos y ceros.

 

PASO 3: Dibujamos las asíntotas para valores grandes de K.

Cuando K tiende a infinito, la ecuación 1 + K.G(s) = 0 se satisface solamente si  G(s) = 0.

Esto puede ocurrir de dos maneras:

I - En los ceros de G(s), o sea las raíces del polinomio b(s).

II - Escribamos la ecuación característica de la siguiente manera:

 

                                                           Ec. [10]

 

                               Ec. [11]

 

Si n > m, G(s) tiende a cero cuando s tiende a infinito.

Para K grandes, m ceros se cancelarían con m polos, y los (n-m) polos restantes se verían agrupados como en un solo polo múltiple en a:

 

                Ec. [12]

 

Tomemos un punto de prueba , para un valor grande y fijo de R, y f variable. Aplicando el criterio de la fase, tenemos:

 

               Ec. [13]

 

El ángulo fl  nos dará el ángulo que forman la asíntotas, que serán de:

 

                    Ec. [14]

 

El lugar de origen de las asíntotas está en . Averiguemos cuánto vale a:

 

         Ec. [15]

 

Es fácil de deducir que: , el opuesto de la sumatoria de los polos a lazo abierto.

Por otro lado, la ecuación característica la podemos escribir de la siguiente manera:

 

Ec. [16]

 

Si m < (n-1), tenemos que K no afectará el coeficiente de sn-1, que será a1; y por lo tanto, si llamamos ri las raíces de esta ecuación, tenemos que:

 

                             Ec. [17]

 

Ahora, para K grandes, m de las raíces coinciden con los ceros zi, y (n-m) son del sistema asintótico , cuyos polos sumarán (n-m) . a. Por lo tanto:

 

               Ec. [18]

 

Entonces, el centro de las asíntotas estará dado por:

 

                                          Ec. [19]

 

PASO 4: Calculamos los ángulos de salida y de llegada de polos y ceros.

Esto lo analizamos considerando un punto de prueba muy cercano al polo o al cero, y aplicando el criterio de fase.

 

PASO 5: Estimamos (o calculamos) los puntos donde los lugares geométrico de las raíces cruzan el eje imaginario.

Esto podemos obtener determinando el K, para el cual el sistema se torna inestable (cruza el eje imaginario). Una manera de determinarlo es reemplazar en la ecuación característica s por j.w, de esta manera tenemos dos ecuaciones (una para la parte real de la ecuación y otra para la imaginaria), con dos incógnitas: K y w.

 

PASO 6: Estimamos la localización de las raíces múltiples, especialmente en el eje real, y determinamos los ángulos de llegada y salida de estos lugares.

Supongamos que para un determinado K, existen raíces múltiples. Llamemos en ese caso ri, a las raíces de la ecuación característica para ese K, o sea:

 

                Ec. [20]

 

Llamemos ra a la raíz múltiple, entonces habrá un término de la productoria que será: (s- ra)a, con a ³ 2. O sea:

 

                            Ec. [21]

 

Derivemos esta productoria, y evaluémosla en s = ra:

 

 Ec. [22]

 

Aplicando este resultado a la ecuación característica, y sabiendo que se debe cumplir en s = ra:

 

      y                                    Ec. [23]

 

                                  Ec. [24]

 

Convinando ambas ecuaciones para eliminar K:

 

                              Ec. [25]

 

Que es equivalente a:

 

                 Ec. [26]

 

Si dividimos esta ecuación por -b(s), obtendremos que:

 

                                            Ec. [27]

 

Entonces tenemos que la condición de raíces múltiples es la siguiente:

 

                                         Ec. [28]

 

PASO 7: Completamos el dibujo, combinando los resultados anteriores.


PASO 1

PASO 2

PASO 3

 

PASO 4

 

PASO 5

PASO 6

PASO 7

Figura 3. Pasos para el trazado del lugar geométrico de las raíces para la función de transferencia del ejemplo.

 

Ejemplo:

Tenemos la siguiente función de transferencia a lazo abierto:

 

 

En la figura 3 mostramos los resultados de los sucesivos pasos seguidos para el trazado del lugar geométrico de las raíces para esta función de transferencia.

Para el paso 3, el cálculo del centro y ángulo de las asíntotas son:

 

                    

 

Para el paso 4, el cálculo de los ángulos a de salida de los polos en el origen (suponiendo un apartamiento pequeño de los mismos), aplicando el criterio del ángulo:

 

 

De la misma manera podemos determinar el ángulo de salida del otro polo, y el de llegada al cero.

Para el paso 6, determinamos la raíz múltiple realizando la derivada, la cual vale . Podemos comprobar que la multiplicidad de esta raíz es 3, ya que la derivada segunda de -1/G(s) con respecto a s evaluada en ese punto también es cero.

Por lo tanto los ángulos b de entrada a ese polo múltiple es:

 

 

Y los ángulos g de salida son:

 

 

Condición de magnitud

El criterio de magnitud es el siguiente que lo obtenemos aplicando el módulo a la ecuación 8:

 

,                y para K > 0:                      [Ec. 28]

 

Este criterio nos permite determinar el valor de K, una vez escogido una ubicación determinada del lugar geométrico de las raíces.

 

Ejemplo:

Supongamos tener la siguiente función de transferencia:

 

 

cuyas polos se ubican en el origen y en -2±2.j. En la figura 4 mostramos el lugar de las raíces para esta función de transferencia.

Elegimos un punto de prueba en -0.667±2.j, que pertenece al lugar geométrico de las raíces, pues ese punto cumple con ciertos requerimientos para nuestro sistema de control.

 

Figura 4. Lugar de las raíces del ejemplo, con un punto de determinar la ganancia

 

Entonces determinamos la ganancia K para llegar a ese punto como:

 

 

Trazado del lugar geométrico de las raíces para ganancias negativas

Para ganancias negativas, K < 0, el criterio de la fase (o del ángulo) cambia por:

 

,                con l = 0, 1, 2, ....              Ec. [30]

 

puesto que la ecuación característica es: 1 - (-K) . G(s) = 0.

Dejamos como ejercicio al lector cómo afecta este cambio a los siete pasos descriptos para el trazado geométrico de las raíces.

 

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