Dinámica de sistemas y control

 

CAPITULO III: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO

Solución de la ecuación homogénea, matriz de transición, solución de la ecuación forzada.

 

Bibliografía

 

Introducción

 

En el capítulo anterior habíamos visto para el caso contínuo que un sistema lineal variante en el tiempo puede ser descripto a través de las siguientes ecuaciones de estado:

 

                    [Ec. 1.a]

                   [Ec. 1.b]

 

Para analizar cómo evoluciona el sistema debemos resolver las ecuaciones 1.a y 1.b, pero para terminar de definir el problema no basta con dar las ecuaciones, sino que debe darse el marco para buscar la solución: esto es, debemos conocer algún estado inicial x(t0) y alguna entrada u(t) para tt0. Con esta información podemos determinar el vector de estado x(t) y el vector de salida y(t) para todo tt0.

Si se encuentra la solución x(t) para la ecuación 1.a, entonces para encontrar y(t) solo basta con reemplazar dicha solución en la ecuación 1.b conjuntamente con el valor de u(t), y por simple adición y multiplicación de matrices obtenemos la respuesta. Por lo tanto, la tarea principal consiste en resolver la ecuación 1.a.

 

De manera similar, en el caso discreto la tarea principal es resolver la ecuación de estado:

 

                      [Ec. 2]

 

en donde se conocen el estado inicial x(k0) y la entrada en función de k: u(k) para kk0.

 

En este capítulo nos concentraremos en la solución de las ecuaciones 1.a y 2. Primeramente veremos el caso en que la entrada u es identicamente nula y resolveremos la ecuación de estado tanto para el caso contínuo como discreto (solución homogénea). Luego proveeremos una solución completa para ambos casos.

 

El caso homogéneo – la matriz de transición

 

Cuando la entrada es identicamente nula, la ecuación de estado se convierte en:

 

                            [Ec. 3]

 

en el caso contínuo, y

 

                  [Ec. 4]

 

en el caso discreto. Las ecuaciones 3 y 4 son llamadas las ecuaciones de estado homogéneas o las ecuaciones de estado no-forzadas.

 

Sistemas Contínuos

Sea  y asumamos que en el tiempo t0, el estado inicial es:

 

                                          [Ec. 5]

 

Estamos interesados en encontrar x(t) para tt0 sujeto al estado inicial de la Ec. 5. La primera pregunta que surge es de la existencia de una solución, y si es que existe ¿es la única?. Se demuestra (referencias [1] y [2]) que si A(t) es una matriz de coeficientes reales y contínua a trozos, entonces la solución a la ecuación 3 siempre existe para cualquier estado inicial del que parta (Ec. 5).

 

Definición:

La matriz F(t,t0) de dimensión nxn es llamada matriz de transición de estado, o simplemente matriz de transición de la ecuación 3 si satisface las siguientes dos condiciones:

a) ,                                                     [Ec. 6]

b)                                                                                   [Ec. 7]

, para todo t0, y para todo tt0

 

Notar que desde esta definición, la solución de la ecuación 3 puede escribirse como:

 

                                                                                     [Ec. 8]

 

Ejemplo:

Si A(t) en la ecuación 3 es una matriz constante, entonces la matriz de transición será

Puesto que por definición de exponencial de una matriz:

esto implica que:

o sea que cumple con la condición a) de la definición de la matriz de transición, y además se cumple con la condición b), puesto que:

 

Sistemas discretos

Ahora consideremos la ecuación en diferencias discreto homogéneo de la ecuación 4. Sea  y asumimos que en el tiempo discreto inicial k0 el estado inicial es:

 

                                         [Ec. 9]

 

Queremos encontrar la solución de x(k) para la ecuación 4 para kk0 sujeto a la condición inicial de la ecuación 9. El desarrollo en este caso es similar al caso contínuo.

 

Definición:

La matriz F(k,k0) de dimensión nxn es llamada matriz de transición de la ecuación 4 si satisface las siguientes dos condiciones:

a) ,                                                             [Ec. 10]

b)                                                                                                [Ec. 11]

, para todo k0, y para todo kk0

 

Notar que desde esta definición, la solución de la ecuación 4 puede escribirse como:

 

                                                                                               [Ec. 12]

 

Y además:

 

                    para todo k > k0.                                                   [Ec.13]

 

Propiedades de la matriz de transición

 

La matriz de transición posee las siguientes propiedades:

a)       Propiedad transitiva:

,              para todo t, t0, t1.                                  [Ec. 14]

b)       Propiedad de inversión:

                                                                                              [Ec. 15]

 

De manera similar, en los sistemas discretos, la matriz de transición también posee estas propiedades:

a)       Propiedad transitiva:

,        para todo k, k0, k1.                               [Ec. 16]

b)       Propiedad de inversión:

                                                                                          [Ec. 17]

 

Cálculo de la matriz de transición

 

Sistemas Contínuos

Para el caso contínuo, veamos primeramente el caso de los sistemas invariantes en el tiempo. En el caso de sistemas invariantes en el tiempo, previamente hemos dicho que la matriz de transición es la exponencial de la matriz:

 

                                                                  [Ec. 18]

 

 La determinación de la matriz de transición, que es en definitiva el cálculo de esta exponencial, puede alcanzarse mediante el uso de los siguientes tres métodos:

 

Método A: Método de los autovalores

Si M es la matriz modal de A, o sea la matriz de cambio de base que lleva a la matriz A a su forma de Jordan AJor:

 

                                                                                                        [Ec. 19]

 

Entonces resulta que:

 

 

                                                                        [Ec. 20]

 

La exponencial de una matriz de Jordan es fácil de deducir. Si la misma es completamente diagonal:

 

                                                                                                             [Ec. 21]

 

entonces su exponencial será directamente:

 

Y en el caso que tenga bloques de Jordan del tipo:

 

                                                                                                        [Ec. 22]

 

entonce su exponencial será:

 

                           [Ec. 23]

 

Método B: A través del uso de la transformada de Laplace

Partiendo de la ecuación homogénea:

 

                                                                  [Ec. 24]

 

y aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:

 

                                         [Ec. 25]

 

y despejando X(s):

 

                                           [Ec. 26]

 

Pero por otro lado, sabemos que:

 

                                                   [Ec. 27]

 

y en particular, para t0 = 0, y aplicando transformada de Laplace:

 

                                             [Ec. 28]

 

Comparando las ecuaciones 28 y 26, se deduce que la matriz de transición debe ser:

 

                                          [Ec. 29]

 

Método C: A través de la aplicación de la definición de exponencial de una matriz

Este método consiste en calcular

 

                  [Ec. 30]

 

directamente aplicando la definición de exponencial de una matriz. Para ver el desarrollo de éste método, veámoslo en su aplicación en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Queremos obtener la matriz de transición, para un sistema cuya matriz A es:

 

 

Para realizar el cálculo de la exponencial, determinemos el valor de A2, A3, etc:

 

,   ,  

 

Y por lo tanto:

 

Conociendo que las siguientes exponenciales se describen mediante las siguientes series:

 

 

Y observando detenidamente la matriz, finalmente deducimos que:

 

 

Como ejercicio, el lector podría comprobar este resultado mediante el uso de los dos métodos anunciados anteriormente.

 

Solución a un caso particular de sistema variante en el tiempo

Generalmente buscar una solución para los sistemas variantes en el tiempo se hace más complicada, pero veamos un caso particular en donde se puede encontrar con relativa facilidad la solución:

 

Teorema

Hipótesis:

Si A(t) y A(t) son conmutables para todo t y t, esto es:

 

,              para todo t, para todo t.

 

Entonces la matriz de transición para la ecuación  es:

 

                                                                                                        [Ec. 31]

 

Demostración:

Primeramente, notar que la solución propuesta satisface la condición b) de matriz de transición, puesto que:

 

                                                                           [Ec. 32]

 

Para la condición a), primeramente describamos la serie de la exponencial de una matriz según la definición:

 

                     [Ec. 33]

 

Calculando su derivada con respecto a la variable t, tenemos:

 

   [Ec. 34]

 

 

Como la matriz A(t) es conmutable, entonces:

 

                                          [Ec. 35]

 

 

Pero el segundo término es:

 

                                    [Ec. 36]

 

y por lo tanto llegamos a la condición a) de la definición de matriz de transición:

 

                                                                  [Ec. 37]

 

Con lo cual el teorema queda demostrado.

 

Sistemas discretos

Veamos el caso invariante en el tiempo. La ecuación de estado homogénea es:

 

                                         [Ec. 38]

 

donde la matriz A es una matriz constante de nxn. Si esta matriz A es no-singular, entonces la matriz de transición toma la forma:

 

                                            [Ec. 39]

 

ya que la misma satisface ambas condiciones de matriz de transición. Aca asumimos que k0 = 0 sin perder la generalidad ya que si k0 ≠ 0, reemplazamos k por k-k0 en la solución. Por lo tanto la tarea principal en la determinación de la matriz de transición consiste en calcular Ak.

Los métodos para calcular Ak son análogos a aquellos para determinar exp(A.t):

 

Método A: Método de los autovalores

Si M es la matriz modal de A, o sea:

 

,       donde AJor es la matriz de Jordan de A.

 

Fácilmente se demuestra que:

 

                                                   [Ec. 40]

 

Entonces si la matriz A es completamente diagonalizable, entonces:

 

                                                [Ec. 41]

 

Si la matriz AJor posee bloques de Jordan, del tipo:

 

 

Entonces:

 

, donde m es la multiplicidad del bloque (que en este caso es 3.

 

Método B: A través del uso de la transformada Z

Aplicando la tranformada Z a la ecuación 38, tenemos:

 

                        [Ec. 42]

 

Y despejando para obtenet X(z):

 

                          [Ec. 43]

 

Por lo tanto esto es la transformada Z del vector de estado solución x(k) para la ecuación 38, con la condición inicial x0. Esto implica que:

 

                        [Ec. 44]

 

Y por lo tanto:

 

                             [Ec. 45]

 

Método C: A través de la multiplicación sucesiva de la matriz

Este método consiste en realizar las primeras multiplicaciones sucesivas de la matriz A, y encontrar para cada uno de los elementos de la matriz, la serie que la represente (como en el ejemplo desarrollado en el método C en el caso contínuo).

 

El caso forzado – la solución completa

Como veremos en el desarrollo de los siguientes puntos, tanto para buscar la solución completa en los sistemas contínuos como en los discretos, se hace fundamental el conocimiento de la matriz de transición.

 

Sistemas Contínuos

La ecuación de estado a ser resuelta en el caso contínuo, es:

 

,                   para tt0               [Ec. 46]

 

sujeto a la condición x(t0) = x0, conociendo u(t) para todo tiempo tt0.

Veamos el siguiente teorema que nos dá la solución a este problema:

 

Teorema

Hipótesis:

La solución a la ecuación 46 es:

 

   ,                               para tt0               [Ec. 47]

donde  es la matriz de transición de .

 

Demostración:

Supongamos que la solución que estamos buscando la podemos describir como la solución de la homogénea por una solución particular de la siguiente manera:

 

                                                                                                                      [Ec. 48]

 

la cual es semejante a la solución homogénea , excepto que k(t) es un vector función del tiempo que deber ser determinada de manera de satisfacer la ecuación 46.

De la ecuación 48, tenemos:

 

      [Ec. 49]

 

donde la condición a) de la definición de matriz de transición fue utilizada para arribar al último término. Reemplazando la ecuación 49 en la ecuación 46, y usando la ecuación 48:

 

                           [Ec. 50]

 

Y por cancelación de términos iguales a ambos lados de la ecuación, y premultiplicando a ambos lados por , finalmente obtenemos:

 

                                                                            [Ec. 51]

 

Integrando esta ecuación desde t0 a t, obtenemos k(t):

 

                                                                [Ec. 52]

 

donde k(t0) puede ser encontrado utilizando la ecuación 48 haciendo t = t0 y por lo tanto k(t0) = x(t0). Sustituyendo k(t) en la ecuación 48 y usando la propiedad transitiva de las matrices de transición llegamos a la ecuación 47 que es lo que queríamos demostrar.

 

La respuesta completa del sistema

La respuesta completa del sistema, y(t) puede hallarse sustituyendo la ecuación 47 en la 1.b:

 

,   para tt0               [Ec. 53]

 

Si las entradas u(t) son idénticamente nulas, la ecuación 53 se convierte en:

 

,           para tt0                                                               [Ec. 54]

 

la cual es llamada la respuesta entrada-cero del sistema. Notar que la misma depende únicamente de la condición inicial x0.

Si el estado inicial es nulo, la ecuación 53 queda:

 

,       para tt0               [Ec. 55]

 

la cual es llamada respuesta estado-cero del sistema. Notar ahora que la respuesta depende solamente de la entrada u(t).

Estas dos condiciones expresan la propiedad de linealidad de los sistemas lineales.

 

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

En los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, las matrices A, B, C y D son constantes y , y por lo tanto x(t) es:

 

                         [Ec. 56]

y la salida y(t) del sistema será:

 

,       tt0        [Ec. 57]

 

Y por lo tanto, la respuesta estado-cero será:

 

 ,     para tt0               [Ec. 58]

 

Si en particular la entrada es un impulso en el tiempo t = 0, tenemos:

 

 ,              para t ≥ 0                [Ec. 59]

 

Y si esta respuesta la transformamos por Laplace, deberíamos reproducir la función de transferencia del sistema:

 

                                                                                [Ec. 60]

 

Y recordando que para sistemas lineales e invariantes en el tiempo , reproducimos la ecuación ya conocida:

 

                                                                                   [Ec. 61]

 

 

Sistemas Discretos

La ecuación de estado a ser resuelta en el caso discreto, es:

 

,                      para kk0             [Ec. 62]

 

sujeto a la condición inicial x(k0) = x0, conociendo u(k) para todo tiempo kk0.

Veamos el siguiente teorema que nos dá la solución a este problema:

 

Teorema

Hipótesis:

La solución a la ecuación 62 es:

 

,                            para kk0             [Ec. 63]

donde  es la matriz de transición de .

 

Demostración:

De la ecuación 62 tenemos que:

 

 

            [Ec. 64]

 

y así sucesivamente. Se puede verificar fácilmente que se llega a:

 

,          k = k0+1, k0+2, ...                  [Ec. 65]

 

Utilizando la ecuación 13, y usando el hecho de que , se llega a la ecuación 63 que es lo que queríamos demostrar.

 

La respuesta completa del sistema

La respuesta completa del sistema, y(k) puede hallarse sustituyendo la ecuación 65 en:

 

,                           para kk0                                             [Ec. 66]

 

por lo tanto:

 

,       kk0     [Ec. 67]

 

Y nuevamente aquí podemos determinar las respuestas del sistema entrada-cero y estado-cero, que resultan ser:

 

,                      kk0                                                     [Ec. 68]

,               kk0     [Ec. 69]

 

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

En los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, las matrices A, B, C y D son constantes y , y por lo tanto y(k) es:

 

,              kk0     [Ec. 70]

 

Nuevamente acá, si la condición inicial es nula: x0 = 0 (respuesta estado-cero), y la entrada es la función impulso en el tiempo k0 = 0, obtenemos:

 

,                   k ≥ 0                                                      [Ec. 71]

 

Cuya transformada Z, será la función transferencia:

 

                                       [Ec. 72]

 

 

 

Referencias:

[1] R. W. Brockett, “Finite-Dimensional Linear Systems”, Wiley, 1970

[2] C. A. Desoer, “Notes for a Second Course on Linear Systems”, Van Nostrand Reinholt, 1970

 

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