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Lugar de Raíces : Tutorial

Polos a lazo cerrado
Dibujo del lugar de raíces de una función de transferencia
Elección de un valor para K from root locus
Respuesta a lazo cerrado

Indice de comandos matlab usados en este tutorial :: cloop, rlocfind, rlocus, sgrid, step

Los comandos Matlab de la toolbox de control de sistema están en rojo.

Polos a Lazo Cerrado

El lugar de raíces de una función de transferencia H(s) (a lazo abierto) es un diagrama de los lugares (locus) de todos los polos a lazo cerrado posibles con ganancia proporcional k y realimentación unitaria:

La función de transferencia a lazo cerrado es:


y por lo tanto los polos del sistema a lazo cerrado son valore de s tales que 1 + K H(s) = 0.

Si escribimos H(s) = b(s)/a(s), Entonces esta ecuación tiene la forma:

Sea n el orden de a(s) y m el orden de b(s) [el orden de un polinomio es la mayor potencia de s con coeficiente no nulo].

Consideraremos sólo los k positivos. En el límite cuando k -> 0, los polos del sistema a lazo cerrado son los de a(s) = 0 ,o sea los polos de H(s). En el límite cuando k -> infinito, los polos del sistema a lazo cerrado son los de b(s) = 0, o los ceros of H(s).

Sin importar el valor de k que elijamos, el sistema a lazo cerrado debe tener siempre n polos, donde n es la cantidad de polos de H(s). El root locus debe tener n ramas, cada rama empieza en un polo de H(s) y termina en un cero de H(s). Si H(s) tiene más polos que ceros (el caso normal), m < n y decimos que H(s) tiene ceros en el infinito. En este caso, el límite de H(s) cuando s -> infinito es cero. El número de ceros en el infinito es n-m, la cantidad de polos menos la cantidad de ceros, y es la cantidad de ramas del lugar de raíces que van al infinito (asíntotas).

Como el lugar de raíces son realmente los lugares de todos los polos posibles a lazo cerrado, del lugar de raíces podemos elegir una ganacia tal que nuestro sistema a lazo cerrado haga lo que queramos. Si cualquiera de los polos elegidos está en el semiplano derecho, el sistema a lazo cerrado será inestable. Los polos más cercanos al eje imaginario son los que mayor influencia tienen en la respuesta a lazo cerrado, de modo que a pesar que el sistema tenga tres o cuatro polos, el mismo puede actuar como un sistema de segundo o aún de primer orden, dependiendo de la ubicación del/los polo/s dominante/s.

Dibujo del lugar de raíces de una función de transferencia

Considere un sistema a lazo abierto que tiene un función de transferencia de


Cómo diseñamos un controlador realimentado para el sistema usando el método del Lugar de Raíces? Sean los criterios de diseño 5% de sobrepico y 1 segundo de tiempo de subida. Genere un archivo.m llamado rl.m. Ingrese la función de transferencia, y el comando para graficar el lugar de raíces:

Elección de un valor para K del lugar de raíces

El gráfico de arriba muestra los posibles lugares del polo a lazo cerrado para un controlador solo proporcional. Obviamente no todos esos polos a lazo cerrado satisfarán los criterios de diseño. Para determinar cuál es la parte aceptable del locus, podemos usar el comando sgrid(Zeta,Wn) para dibujar líneas de coeficiente de amortiguamiento y de frecuencia natural constantes. Sus dos argumentos son el coeficiente de amortiguamiento (Zeta) y la frecuencia natural (Wn) [pueden ser vectores si quiere mirar un rango de valores aceptables]. En nuestro problema, necesitamos un sobrepico menor que 5% (lo que significa una razón de amortiguación Zeta mayor que 0.7) y un tiempo de subida de 1 segundo (lo que significa a frecuencia natural Wn mayor que 1.8). Ingrese en la ventana de comandos del Matlab:

En el gráfico de arriba, las dos líneas blancas punteadas de cerca de 45 grados indican los lugares con Zeta = 0.7; entre estas líneas, los polos tendrán Zeta > 0.7 y afuera de ellas, Zeta < 0.7. El semicírculo indica lugares de polos con frecuencia natural Wn = 1.8; dentro del círculo, Wn < 1.8 y fuera de él Wn > 1.8.

Regresando a nuestro problema, para tener un sobrepico menor que 5%, los polos deben ubicarse entre las dos líneas blancas punteadas , y para tener un tiempo de elevación menor que 1 segundo, los polos deben estar fuera del semicírculo blanco punteado. De modo que ahora sabemoas que sólo las partes del locus fuera del semicírculo y entre las dos líneas son aceptables. Todos los polos se hallan semiplano izquierdo, así que el sistema a lazo cerrado será estable.

De la figura de arriba vemos que hay partes del lugar de raíces dentro de la región deseada. Con lo que en este caso sólo necesitamos un controlador proporcional para mover los polos a la región deseada. Puede usarse el comando rlocfind para elegir los polos deseados en el locus ya hecho:

Haga clic en el diagrama, en el punto donde quiera que se encuentre el polo a lazo cerrado. Seguramente querrá elegir los puntos indicados en la figura de abajo para satisfacer los criterios de diseño.

Note que como el lugar de raíces podría tener más de una rama, cuando selecciona un polo, quisiera averiguar dónde estará/n el/los otro/s polo/s .
Recuerde que éstos afectarán también la respuesta. De la figura de arriba vemos que los polos elegidos (todos los "+" blancos) se encuentran en posiciones razonables. Podemos continuar y usar el kd elegido como nuestro controlador proporcional.

Respuesta a lazo cerrado

Para hallar la respuesta al escalón , necesita conocer la función de transferencia a lazo cerrado . Pudiera calcularla usando las reglas de diagramas en bloque, o dejarle a Matlab que lo haga:

Los dos argumentos de la función cloop son el numerador y el denominador del sistema a lazo abierto. Debe incluir la ganancia proporcional que ha elegido. Se asume realimentación unitaria. Verifique la respuesta al escalón del sistema a lazo cerrado:

Como se esperaba, esta respuesta tiene un sobrepico menor que 5% y un tiempo de subida menor que 1 segundo.


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